RVHS Statistics Phrasing of Qualitative Answers

1    GUIDE to Answering Qualitative Questions for  Statistics (assumptions, explain, comment etc)   (some edits updated 20 Oct 2023)  This guide hopefully helps you to answer qualitative  questions more confidently.    1. Binomial Distribution   Typical Context:   Question talks about some characteristic of the random variable being studied, eg, faulty  object/ rotten fruit.    X is the random variable for the number of (faulty objects/rotten fruits), out of n (objects)   There is a probability of success, p, refers to the probability of that characteristic happening.   State clearly in mathematical notations:  X ~ B ( n, p)    QUESTION: State, in the context of the question, two assumptions needed to model X by a binomial  distribution.    PHRASING SUGGESTION:   1. The event of a (object/fruit) is (faulty/rotten) is independent of the event of any  other (object/fruit) being (faulty/rotten).  (this actually conveys the idea that the EVENT of the faulty thing happening  to one  object does not affect anyther object being faulty.)    2.  The probability that each(object/fruit) is (faulty/rotten) is constant throughout  for all (objects/fruits).  (this phrasing on probability constant should be cited especially for those questions that  mention something like “On average, 8% of mugs are faulty.” This is because if given as an  average value, we need to assume that the probability of selecting something of the  characteristic needs to be constant for it to model by binomial.)  Note the key words: EVENT INDEPENDENT; PROBABILITY CONSTANT.  Never use the phrasing “probability of…is  independent of…” because only events  are independent AND NOT the probability value that is independent.

2    2. Normal Distribution   QUESTION: Explain whether the normal distribution is a suitable model.   (Context: It was found that the time a teenager spends per day on Twister social media is a random  variable with a mean of 4 minutes and a standard deviation of 2 minutes.)  PHRASING SUGGESTION:   Let T be the time spent by a teenager on Twister.  Suppose    2~N 4 , 2 ,T    Then according to the empirical rule, 99.7% of the values of  T  will  lie  within  3  standard  deviations.  This  means  43 ( 2 ) ( 2 , 1 0 )   which  contains  a  significant  range  of  negative  values  which  does  not  make  sense  with  time.  Hence, the normal distribution is not a suitable model.  (pls note question mentions data context has mean of 4 minutes and a standard deviation of 2 minutes  DOES NOT MEAN that it is normal distribution automatically.)    3. Hypothesis Testing (Significance testing)      Denote X as the random variable for the life span of the front tyres.   Denote   to be the population mean life span of the front tyres.   Denote H0:  =20000   Denote H1:  > 20000  (A) Explain 5% Level of Significance  5% level of significance means that there is a 0.05 probability that the test will indicate to  reject the claim (Ho) that the speed of PMD riders is 10km/h or less when in fact the  claim is true.  (recall defn of LOS: Thus, the  significance level    100%  is the percentage (probability)  of rejecting H0 (write the stem phrase of problem context) given that H0 is true. )    (B) Explain the p‐value in context (eg if p‐value is 0.03)  The p‐value represents the smallest level of significance for which the null hypothesis that  the mean speed of PMD riders is 10km/h or less would be rejected. (cite the context  which is about mean speed of PMD riders)  (Recall defn of P‐value: The p‐value (observed significance level) is the smallest value of  the significance level  for which the null hypothesis would be rejected.)

3    (C) Conclusion statement   To test   H0  :  70    against    H 1  :  70    If Conclusion is Do Not Reject Ho, write:  Do Not Reject Ho. There is insufficient evidence at the 5% level of significance to conclude  that the mean mass of the cereal packets has changed (H1 stem phrase).  If Conclusion is Reject Ho, write:  Reject Ho. There is sufficient evidence at the 10% level of significance to conclude that  the mean mass of the cereal packets has changed (H1 stem phrase).    4. Correlation and Regression   When drawing scatter diagram  [Use crosses (x), and must indicate : (i) axes labes and units, (ii) the minimum and  maximum value on each axis, (iii) label the end‐points coordinates too.  The points (if for example x values are in equal increments must show equal spacing.  The relative positioning of the points must be proportionate. Use the GC axes  markings as a guide.  Sometimes question requires to add onto the diagram a regression line, this line will  help you to position your points more proportionately ]    Answering questions on after drawing scatter diagram, comment o n whether linear model is suitable  (more for H2 Maths, ignore for H1 Maths) (no r value is calculated yet at this point).  [Use GC obtain scatter diagram, observe the diagram;  mention data  points has a curvi‐linear trend and mention something like “ y increases  as x increases but by decreasing amounts”]         The scatter diagram shows that as x  increases, the rate of decrease in y becomes  smaller and y appears to approach a value..  Thus a linear model is not suitable as  a linear  model requires the rate of decrease to be  constant.

4      Comment on value of correlation coefficient (in context)   [cite 3 things: close to 1, indicate strong positive linear correlation betweeen the 2  variables, name the variables in context and not in terms of symbols]  The value of r (0.968)  is close to 1, indicating a strong positive linear correlation between the 2  variables x and y. (cite in words the names of the variables eg height and weight) , e.g.,   From GC, r = 0.964  The value of r is positive and close to 1, indicating a strong and positive linear  correlation between the gross domestic product per capita and the plastic waste  per capita per day.    Comment when estimate is reliable   [cite 3 key‐points: within data range (cite it), interpolation,  r close to 1]  The estimate is reliable since x = 1.25 is within the data range (0.5 to 2.0), hence it is an interpolation. In  addition, |r| is close to 1 which indicates a strong positive (or negative) linear correlation between x and  y.    Comment when estimate is NOT reliable   [cite 2 key‐points: not within data range (cite it), extrapolation,    Or [x may be within data range but |r| not close to 1 ]  The estimate is NOT reliable since x = 2.50 is not within the data range (0.5 to 2.0), hence it is an  extrapolation.   OR The estimate is not reliable as r= 0.5 is not close to 1, although x value is within the data range (ref  BMQ3)  Since x is outside the given range of data, the linear relation may no longer hold, therefore the estimate  is unreliable.

5    Least Square Regression Lines of y on x VS x on y (the meanings and explanations)             For regression line of y on x, the  values of x are considered as  accurate and the sum of squares of  deviation in the y‐direction is  minimized.  For regression line of x on y, the  values of y are considered as  accurate and the sum of squares of  deviation in the x‐direction is  minimized.

6      5.  General  common  problems  (could  be  in  probability,  binomial  or  normal distribution scenarios)    QUESTION: Explain why the answer to part (iii) is greater than the answer to part (ii). (see below)    (ii)      Find the probability of the event that both a randomly chosen chicken has a selling  price  exceeding  $7  and  a  randomly  chosen  turkey  has  a  selling  price  exceeding  $55.  (iii)  Find the probability that the total selling price of a ra ndomly chosen chicken and a  randomly chosen turkey is more than $62.  [Question from N2007 H2/P2/Q8]    Solving gives (ii) answer is 0.160 and (iii) answer is 0.392  PHRASING SUGGESTION:   It is because the event in (ii) is a subset of the event in (iii).   For example, the selling price of