Ex03 Equations & Inequalities Answer

Topic: Equations and inequalities Question 1 [2008 EOY, Q3] marks It is given that  1, 2p  , where  0p  , is a solution to the pair of simultaneous equations  21 0px y   and  2 5p xy  .  (i) Show that  3p  . Solution: Sub  x p  and  1 2y  into   to  get  2 11 0 3pp   since     [2] (ii) Find the other solution  (, )xy  to the above pair of simultaneous equations.  Solution: 321 0xy  so  10 3 2 xy     hence  34 53 ( 1 0 3 ) 4 5 ( 1 0 3 )10 3 x xx xx x        2215 55 30 0 3 11 6 0 (3 2)( 3) 0xx x x x x            Hence  2 3x  or 3 so sub  2 3x  to get  4y  , i.e.  2 3x ,  4y     [4] Question 2 [2009 EOY, Q7] marks (i) Given 2() ( 1 ) 1f xx p x p  , where p is real. Find the value(s) of p   for which the graph of y = f(x) is a tangent to the x‐axis.   Solution: 2(1 ) 4 ( 1 ) (1 ) 0Dp p         2 21 44 0pp p         2 23 0pp         (3 ) (1 ) 0pp         3 or 1p         [4] 21 0px y  0p

(ii) Find the range of values of x for which  (2 1)(4 3) 18.xx  Solution:                               286 4 3 1 8 0xx x        282 2 1 0xx        (4 7)(2 3) 0xx         [3] Question 3 [2010 EOY, Q17 EITHER i, ii] marks (a)  A power generator works in such a way that it takes 10 minutes to warm up before it is able to  generate electricity. It is expected to generate 500 units of electricity every 20 minutes after it  warms up.  (i)  Write down an equation in E and t, where E units represent the amount of electricity  generated and t minutes (where  10)t   represents the time after which the generator is  turned on.  Solution: 500( 10) 20 tE                        25( 10)t    [1]  (ii)  Show that it is expected to take at least 5.5 hours to generate at least 8000 units of electricity.   Solution: For  8000E ,  800025( 10) 8000 10 25tt                  330t    So it takes at least 330 minutes or 5.5 hours

Question 4 [2011 EOY, Q10b] marks The roots of the equation  2 41 0xx   are   and  . Without finding   the value of   and of  , construct a quadratic equation whose roots are    12    and   12  .   Solution: 4   M1    &1        1122 ()2( ) 424 1 2 1 Sum                     22 1122 2 14 21 4 141 3 3 11 Product                   Quadratic equation :  2 12 33 0xx     (Only quadratic expression is written, (not an equation, i.e. no equal sign) answer mark cannot  be given.)                    [5]

Question 5 [2012 EOY, Q9] marks (i) Given that    2 34 3kx x x    is always positive for all real values of  x.   Find the range of values of k.  Solution:     2 22 2 () 3 4 3 0 0a n d 0 96 1 1 61 2 0 76 1 0 71 10 1 1 or 7 1 ak x x x k kk k k kk kk kk k                     [4] (ii) The roots of the quadratic equation  22 21 0xx k    are   and  , such that  22 2 . Find the possible values of  k.   Solution:   22 2 22 2 21 0 2 and 1 2 1 1.5, 0.5 0.25 0.5 xx k k k k                                     [5]

Question 6 [2013 EOY, Q4] marks (i) Find the range of values of  h ,  0h , for which the line  y = x – h  meets the curve  2 7y hx x  . Solution: 22 7 6 0xh h x x h x xh     As the line meets the curve i.e. 2 40ba c 22 64 0 h 2 9h  33 , 0hh   [3] (ii) Find  the range of values of  k  for which    2 (4 ) 1yx k x    is always  positive for all real values of  x.   Solution: As y is always positive and 0a 2 40ba c where 1, 4 and 1ab k c   2(4 )4 0k  2 81 2 0kk ( 2)( 6) 0kk  26 k  [3] Question 7 [2013 EOY, Q11] marks Solve the equation       2 3 2x x   Solution: Given 2 3 2x x 22 3 2 or 3 2x xx x     Case 1 : 2 32x x or 2 23 0xx  (3 ) (1 ) 0xx  3 or 1x  Case 2 : 2 32x x  or 2 23 0xx  (3 ) (1 ) 0xx  3 or 1x But 2 3 2 0xx  Hence after verifying, the answer is: x = 3 or 1x [4]

Alternative Solution  22 2 42 22 (3 ) ( 2 ) 10 9 0 (9 ) (1 ) 0 3, 1 3,1 xx xx xx x x          Question 8 [2014 EOY, Q5] marks Find the range of values of m for which 2 (1 )ym x m x m  is always positive for all real values of x. Solution: 2 (1 )y mx m x m    is always positive  0 and 0m      22 22 2 (1 ) 4 0 21 4 0 32 1 0 (3 1)( 1) 0 1 or 1 3 is positive, 1 mm mm m mm mm mm mm               [4] Question 9 [2014 EOY, Q6] marks It is given that the equation 2 21 ( 2 )x kk x  has two real roots and   . (i) Find the range of values of k. Solution: 2 2 2 2 21 (2 ) (2 )( 2 1 ) 0 (2 ) 4 ( 21 ) 0 40 (4 ) 0 0 or 4 xk kx xk xk kk kk kk kk              [3]

(ii) If 22 11 , determine the value(s) of k. Solution: 22 2 2 2 2 21 11 () 2 1 1 (2 ) 2 ( 2 1 ) 1 1 9 3 k k kk k k                      , are real, range of values for : 0 or 4 3 kk k k           [4] Question 10 [2015 EOY, Q1] marks The roots of the quadratic equation 221 5x x  are  and  . (i) Write down the values of   and  . Solution: 5 2  and  1 2  [2] (ii)Find an equation whose roots are given by 2 1  and 2 1  . Solution: 22 22 22 11          2 2 () 2 ()        21   22 11 4     Hence equation is  2 21 4 0xx  [3]

Question 11 [2015 EOY, Q2] marks (i) Explain why 224 4 x x cannot be greater than 3 for all real values of x. Solution: 2224 4 4 ( )2xx x x               2 143 2x     Since  2 1 02x  ,  2 143 3 2x     so  224 4 x x  cannot be greater than 3. [3] (ii) Find the range of values of p such that 244 ( 2 ) 6 5px p x p  is always positive for all real values of x. Solution: Need  40p  and  2[4 ( 2 ) ] 4 ( 4) ( 6 5 ) 0pp p      i.e.  0p   and  254 0 (5 4)( 1) 0 41 or 5 pp pp pp          Hence  4 5p [5]