Ex05 Logarithm Answer

Topic: Logarithm Question 1 [2008 EOY, Q7] marks Solve the following equations for x:  22 2log ( 6) log ( 1) 1 log (3 )x xx   Solution: 222log ( 6)( 1) log 2 log (3 )x xx     22log ( 6)( 1) log 6x xx     2(6 ) (1 ) 6 6 0xx x x x        so  3x    2x  is rejected because  2log (3 )x  is undefined  [4] Question 2 [2009 EOY, Q10] marks   Solve the following equations:  (a) 2 6x x , Solution:                                222(6 )x x      42 2 12 36x xx    42 13 36 0xx       22( 9)( 4) 0xx    22 9 or 4xx      3 or 2x  (rej)     [4]

(b) 21 2 4333 9 xx x   ,  Solution: 21 2 433 3 3 3 9 xx x       Let 3 xu    211 4 39 9uu u        2 2 39 4 38 4 0 uu u uu           (3 2)( 2) 0 2 or 23 uu u          32 lg 2 or 0.631lg 3 x x      23 3 2lg 3 or 0.369lg 3 x x        [5] (c) 21 lg( 1.6) lg 2 lg(2 1)xx  . Solution: 2lg10 lg( 1.6) lg 2 lg(2 1)xx    2lg[10( 1.6)] lg[2(2 1)]xx      210 16 4 2xx           2 2 41 0 1 4 0 25 7 0 xx xx            (2 7)( 1) 0xx         71 or 2x         Optional Check:  1 lg(0.6) defined lg(3) defined x      3.5 lg(5.1) defined lg(25.5) defined x     [4]

Question 3 [2010 EOY, Q13] marks Solve the following equations:  (a) 82 1 2 5log [2 log ( 4)] log 5x  Solution: 82 1 2 5 82 1log [2 log ( 4)] log 5 log [2 log ( 4)] 3xx          3 282 l o g ( 4 )x       2log ( 4) 0x       41x     5x    [3] (b) 2ln lg1.6ye  Solution: 2ln lg1.6 2 ln ln(lg1.6)yey               ln(lg1.6)ln 2y             ln(lg1.6) 2ye              0.452 (3 s.f.)y    [3] Question 4 [2010 EOY, Q14] marks Solve the pair of simultaneous equations    22()()x yee e     lg( 1) lg( 1) lg lg(2 )x xy x y      Solution: 22()() 22xyee e x y   , and  lg( 1) lg( 1) lg lg(2 ) ( 1)( 1) (2 )x xy x y x x y x y         Hence  (2 2 1)(2 2 1) (4 4 ) (2 3)(2 1) (3 4)yy y y y y y y y         2 43 0yy    1 or 3y      But if  1y  ,  0x  and  lg( 1)x  will be undefined, hence solution rejected     When  3y ,  4x    [6]

Question 5 [2011 EOY, Q13] marks Solve the following equations (a)  2 22log 12 2log 5 24 x x     ,  Solution:      2 2 22 2 22 22 22 22 log 12 log 5 log 4 4 5log 12 log 44 5 12 44 3 48 5 2 10 x x xx xx xx x          [4] (b)  2 4 2log 3log 4 4 xx  Solution:     4 4 4 4 2 44 4 2 44 3 22 log 3log 4 4 log 4log 3 4 log log 3 4 log log 43 0 31 0 3, 1 log 3, log 1 46 4 , 4 64 8 , 4 2 yy y y yy Let a y aa aa aa yy yy xx x x                                   [4]

Question 6 [2012 EOY, Q3] marks Solve the equation     2log 2 1 2 log 4 1 1 0xx xx   .  Solution:    2 2 log 2 1 log 4 1 1 21log 141 21 1 41 24 1 23 1 0 1 or 1 . 12 xx x xx x x x xx xx x xx xx r e j x                 [4] Question 7 [2013 EOY, Q1c] marks (iii) Solve the equation      5log 1 6 log 5 xx   .   Solution: 5 5 6log 1 logx x 2 55(log ) log 6 0xx   55(log 3)(log 2) 0xx  55log 3 or log 2xx             1 or 25125xx                                                           [3]

Question 8 [2014 EOY, Q3] marks (i) Solve the equations Solution: 2 (1 ) 22 (1 ) (1 ) 22 2 log (3 7 2) 2 log (3 7 2) log ( 1) 37 2 2 1 25 3 0 (2 1)( 3) 0 1 (rejected) or 3 2 x xx xx xx x xx xx xx xx x             [4] (ii) 1ln 2 ln 0, where 02xx x   Solution: 2 2 1ln 2 ln 0, where 02 ln 2 ln 0 ln 2 0 21 2 1 or 1 (Two cases) Case 1: 2 1 21 21 4 61 0 32 2 ( r e j e c t 32 2 ) OR 5.83 or 0.172 (rejected, as it does not satisfy xx x xx xx xx xx xx xx xx x xx x x                  the Case 1 equation) [A1]   2 2 Case 2: 2 1 21 21 4 (1 )0 1 xx xx xx x x x          or  2 21 0 (1 ) 0 1 xx x x       Hence  3 2 2 or 1 x     [5] 2 (1 )log (3 7 2) 2x xx  

Question 9 [2015 EOY, Q6] marks Solve the following equations. (i) 3log ln 2x , Solution: ln 2 3log ln 2 32 . 1 4 ( 3 s . f . ) x x   [2] (ii) 221l o g( 1 ) l o g ( 2 27 )y y  . Solution: 221l o g( 1 ) l o g ( 2 27 )y y    2 22 2log 2 log ( 1) log (22 7 )y y      Hence  222( 1) 22 7 2 3 20 0yy y y    Solving,  5 or 4 (rej.)2y  [4]