Ex07 Coordinate Geometry Answer

Topic: Coordinate geometry Question 1 [2008 EOY, Q9] marks The graph below shows part of a quadratic curve which represents the water level, y  metres, of a river over a period of time in hours during the operation of a water dam  nearby. At 2 pm and 8 pm, the water level was at the recommended level of 5 metres.  Let x represents the time in hours since 12pm.                  (i) At what time did the water level reaches its minimum? Solution: 28 52   ; at 5pm   [1] (ii) Find the equation of the curve, expressing it in the form  2()ya x h k   where a, h and k  are real numbers.  Solution: (a) The vertex is at (5, 3) so  2(5 )3ya x     Sub (2, 5) into the equation to get  259 3 9aa     Hence  22 (5 )39yx     [4] 5  Height of water, y (in metres)  4  3  8  6  7  Time, x (hours)  2   8

(iii) Hence, or otherwise, determine the height of the water level at 12 pm.    Solution: Sub  0x  the height at 12 pm is  25(25) 3 899y   metres  [2] Question 2 [2008 EOY, Q10] marks Find the range of values of k if the line  2yx k   intersects the curve  62yx x   more than  once.  Solution: Equate the two equations to get   22 2624 1 2 3 1 2 02 xk xx k x x x k xx         For more than one root,  22( ) 4(3)(12) 0 144 0kk       Hence  ( 12)( 12) 0 12kk k      or  12k    [5] Question 3 [2008 EOY, Q12] marks The diagram below shows a circle with radius r units and its centre is  (2, 3) .                    (i) Given that the circle passes through the origin, find the exact value of r. Solution: 222( 3 ) 1 3r       [2] x  y  0  (2, 3)

(ii) The circle is reflected about the y‐axis and then moved 5 units downwards. Write down the  coordinates of the new centre of the circle.  Solution: (2 ,3 5 ) (2 ,8 )      [1] (iii) Find the equation of the new circle in the form  22 22 0xy g xf y c    where g, f and c  are real constants.  Solution: 22(2 )(8 )1 3xy     22 2 244 1 66 4 1 3 41 65 5 0xx y y x yxy              [3] Question 4 [2008 EOY, Q15] marks The figure below shows the graphs of  227yx    and  3yx  .                  The two curves meet at A and B. (i) Show that the coordinates of A are  (1, 2)  and find the coordinates of B.  Solution: 22 22( 3) 7 2 12 18 7 2 13 11 0xx x x x x x         Solve to get  (2 11)( 1) 0 1x xx     or  11 2    Sub  1x  to get  2y   hence A is   (shown) and   sub  11 2x  to get  5 2y  so B is  11 5,22      [3] (1, 2) y  x  B  A

(ii) Find the length of AB.  Solution: AB  22 11 5 2(81) 9 21222 4 2          or 6.36 units   [2] (iii) Find the equation of the perpendicular bisector of AB.  Solution: Midpoint  11 1 5 1 3 11, 2 ,22 2 4 4             Gradient of perpendicular  5 2211 11 12       hence  Perpendicular bisector of AB is  11 37 442yxy x         [3]

Question 5 [2008 EOY, Q17] marks The diagram below shows the position of three locations A, B and C with respect to a  reference  point  O.  The  bearings  of  A,  B  and  C  from  O  are  050 ,  135  and  240   respectively.                     It is also given that  120OA m and  150OB m.   (i) Find the bearing of B from A.  Solution: 135 50 85BOA     22150 120 2(150)(120) cos85 183.7AB       sin sin 85 54.4150 OAB OABAB       Hence bearing of B from A  360 (180 50 ) 54.4 175.6       [3] (ii) If the bearing of B from C is 100 , calculate the length of OC. Solution: 240 135 105COB     and  100 (180 120) 40OCB      Hence by sine rule  150 133.8sin 35 sin 40 OC OC   m       [3] B  A  C  O  N  50 120 150

(iii) A mast stands vertically at B such that the angle of elevation of the top of the mast from O is  62 . Find the height of the mast.  Solution: heighttan 62 150   height  282.1  m   [2] Question 6 [2009 EOY, Q1] marks Find the coordinates of the points at which the straight line  5yx  intersects the curve  22 (2 )5xy  .  Solution: Sub  5yx   into :     22 (3 ) 5xx     22 2 2 69 5 26 4 0 32 0 xx x xx x x         (2 ) (1 ) 0xx     1 or 2 4 or 3 x y           The coordinates of the points are (−1, −4) and (−2, −3).   [4] Question 7 [2009 EOY, Q9] marks The equation of a circle A is 22 644 0xy xy  . Find the coordinates of the centre of  circle A and state its radius.  Solution: 22(3 ) 9 (2 )4 4 0xy        22 2( 3) ( 2) 3xy       A has centre (− 3, 2), radius = 3   [3] 22 (2 )5xy 

Question 8 [2009 EOY, Q11] marks Solutions to this question by accurate drawing will not be accepted.                                  In the figure, ABCD is a rhombus with vertices A (4, 6) and C (4, 2).   Given that the vertex B lies on the line 321 4xy  , calculate the    (i)      equations of AC and BD,       Solution: midpoint of AC = midpoint of BD = (0, 2) gradient of AC = 6( 2 ) 144   Equation of AC: 61 (4 )yx   2yx  Gradient of BD = 1 Equation of BD: 21 ( 0 )yx  2yx [3] x  y A (4, 6)  B  C (4, 2)  D

(ii) coordinates of B and D, Solution: Coordinates of B: Solve 2yx and simultaneously. 2( 1 )yx 321 4( 2 )xy Solving, x = 2, y = 4 B = (2, 4) Use midpoint to calculate coordinates of D: 11 24,( 0 , 2 )22 xy  (2 , 0 )D [3] (iii) equation of AB, Solution: Gradient of AB = 64 1 42 3   Equation of AB: 16( 4 )3yx   11 4 33yx  [2] 321 4xy 

(iv) area of the rhombus ABCD and hence find the perpendicular distance from B to the line CD.          Solution: Area of ABCD = 42 4 2 41 64 20 62    1 16 4 0 12 (0 4 16 12)2      1 642 32 units2. Let perpendicular distance from B to line CD be h. 32AB d 22 32 (6 4) ( 4 2) d     32 40  1.6 10 or 5.06 units [4]

Question 9 [2009 EOY, Q14] marks The diagram below shows three circular fields with centres P, Q and R tangential to one  another. The radii of the three fields are 2 m, 4 m and x m respectively and PRQ =  60.                     (i) Form an equation in x and show that it reduces to 2 62 4 0xx  . Solution: Using cosine rule,   22 2 2( )( )cos 60PQ PR QR PR QR    22 2 16(4 ) (2 ) 2 (4 ) (2 ) 2xx x x            22236 8 16 4 4 ( 6 8)xx xx xx        236 6 12xx   2 62 4 0xx         [3] P  Q  R  x  2  4  60°