Ex09 Linear Law Answer

Topic: Linear Law Question 1 [2008 EOY, Q4] marks Two variables x and y are such that when  lg y  is drawn against  lg x , a straight line of gradient  3  is obtained, passing through the point  (2 , 9 ) .         (i)   Express y in terms of x. Solution: lg 9 3(lg 2)yx      3 33 10lg 3lg 3 lg lg lg10 lg lgyx y x y x          Hence  3 10y x     [4] (ii) Find the value of x when  1y . Solution: (a) When  ,  3 10 10 11 1 0 xxx          [2] 1y

Question 2 [2009 EOY, Q15] marks Answer the whole of this question on a sheet of graph paper.  The table shows experimental values of two variables, x and y, which are known to be related  by the equation 1 qyp x x  .       1  2  3  4  5  y  2.4      1.1  0.2  – 0.5  – 1.1  (i) Choosing a suitable scale, plot (xy – x) against x2 and draw a straight line.   Solution: xy − x  1.4  0.2   −   2.4 −   6 −   10.5     2x   1  4  9  16  25                    [5] (ii) Use your graph to estimate the values of p and q.  Solution: 2(1 )xy p x q         Fr graph, q = 1.89,  0.493p   [2] (iii) Explain how you would use your graph to determine if the set of experimental values x =  10 and y = − 4 are related by the equation  1 qyp x x  .   Solution: xy − x = − 50 ,  2x  = 100. Extend the line. If it passes through (100, −50), then the values are  related by the equation  1 qyp x x  . [1] xy − x  2x

Question 3 [2010 EOY, Q8] marks The table below shows experimental readings of y for given values of x such that  xya y b x   where a and b are real constants.  x   0  1  2  3  4  5  6  y   0   2.21  1.96   8.95   3.88   2.67   2.11   By drawing a straight line graph of  x y  against  y x , identify the incorrect reading,  Solution: yxya y b x x ya b x      so let  yX x   and Yx y   X   2.21  1.39  5.17   1.94   1.19   0.86    Y   2.21  2.77  15.5   7.76   5.97   5.17   From graph, the incorrect reading is 1.96                                         [4] Y X 2 2 4 14 12 10 8 6 16 4 14 3 2 1 325 (2.8,3.6) (4 ,1 2 . 8 )

(ii) estimate the values of a and b. Solution: From the graph,  3.6 ( 12.8) 2.8 ( 4)a             2.4 (1 d.p.)        3.2 (1 d.p.)b    [2] Question 4 [2012 EOY, Q12] marks The table shows experimental values of two variables, x and y, which are known to be related  by the equation   byx a  , where a and b are constants.     x  1.0  1.5  2.0  2.5  3.0  y  7.3  3.5  2.0  1.3  0.9  (i) Express this equation in a form suitable for drawing a straight line graph. Solution:  1 lg lg lg lg 2 lg 2 lg2 by x a y bx a y bx a                                                [2]

(ii) Using a suitable scale, plot a straight line graph of  lg y  against  lg x.   Use your graph to estimate the value of a and of b. Solution: lg x  0   0.18  0.30  0.40  0.48  lg y  0.86   0.54  0.30  0.11 − 0.05      Table of values         Label axes         Plot points correctly        Best fit line         From graph,   2l g 0.86a          2.69a          0.86 02 00 . 4 7b            0.915b            [6] y = ‐1.8275x + 0.8591 ‐0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 lg y = ‐2b(lg x) + 2(lg a) lg x  lg y

Question 5 [2013 EOY, Q15] marks The table shows the experimental values of two variables  x  and  y .     x  1  2  3  4  5  y  3.8  11.2  20.5  33.2  50.6  y x           3.8    5.6     8.3         It is known that  x  and  y  are related by the equation   2y ax bx      Plot    y x   against  x  and draw a suitable straight line.   Solution: x  1  2  3  4 5 y  3.8  11.2  20.5  33.2 50.6 y x     3.8    5.6    6.8  8.3  10.1  13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 2 4 6 8 10 3.6 Gradient b = 1.6 vertical intercept a = 2.3 x y/x

(a) Use the graph to estimate the value of  a  and of  b,  Solution: (a) Plot  y x against x. From the  diagram,                       The gradient b = 1.6   (0 . 2 )  and                                         the vertical  intercept is  a = 2.3.  (0 . 1 )      [4] (ii) the value of  x  when  y = 8x. Solution: When  y = 8x   8y x .  From the diagram, the value of  x  is  3.6   (0 . 1 )              [1] (b) The diagram  shows  the straight line  graph  of   xy   against   2x   passing     through  the  points  A(0, 6)  and  B(8, 4). Express  y  in terms  of  x.                                                                Solution:           xy – intercept is 6             gradient   64 1 08 4                                         equation of straight line is of the form           “ y = mx + c “           i.e.   2xy mx c                                                                                          21 64xy x                   Hence    216 2 4 or44 xyx xx                     [3]

Question 6 [2014 EOY, Q10] marks Answer the whole of this question on a sheet of graph paper. The table shows experimental values of two variables x and y. It is known that x and y are related by an equation e bxya  , and that one of these values of y given in the table is subject to an abnormally large error. x 1.5 2.5 3.5 4.5 5.0 6.0 y 9.9 6.0 3.6 2.2 1.7 1.4 (i) Draw a straight line graph of ln y against x, using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 1 cm to 0.2 units on the ln y -axis. Solution: el n l n bxy ay a b x                                                                          x  1.5  2.5  3.5  4.5  5.0  6.0  y  9.9  6.0  3.6  2.2  1.7  1.4  ln y   2.29  1.79  1.28  0.79  0.53  0.34  [4] (ii) Use your graph to estimate the value of a and of b. Solution: ln 3.04 20.9 (accept 20.0 to 21.8) 0.500 (accept 0.47 to 0.53) a a b     [3]

(iii) Identify the abnormal reading of y and estimate its correct value. Solution: The abnormal reading is 1.4.   [B1]  When x = 6.0,  ln y  is estimated to be 0.04.  Hence, the correct value of  0.04e1 . 0 4y  . (accept 1.00 to 1.04)  [2] Question 7 [2015 EOY, Q8] marks Answer the whole of this question on a sheet of graph paper. Two variables x and y are related such that 22ya x b x  , where a and b are unknown constants. In an experiment, values of y are found for several values of x and the values are tabulated as shown below. It is also found that one particular value of y is incorrectly recorded. x 1 2 3 4 5 6 y 2.07 3.77 5.45 6.81 8.81 10.48 (i) Using a scale of 2 cm to 1 unit for the horizontal axis and 1 cm to 1 unit for the vertical axes, plot 2y x against x and draw a straight line graph, and use it to identify the incorrect value of y recorded. Solution: [4]

Incorrect value of y recorded is 6.81.