Ex10 Trigonometry Answer

Topic: Trigonometry Question 1 [2008 EOY, Q5] marks Solve for  0 360x  when  2cos(2 40 ) 1 0x  . Solution: 12cos(2 40 ) 1 0 cos(2 40 ) 2xx         basic angle is  60  and  24 0x   is in the 2nd and 3rd quadrants   40 2 40 680x   so  2 40 120 , 240 , 480 , 600x        Hence  80 , 140 , 260 , 320x     [5] Question 2 [2008 EOY, Q8] marks Prove the identity  sin 1 cos 2cose c1c o s s i n xx xx x  .  Solution: LHS   22 2 2sin (1 cos ) sin 1 2cos cos sin (1 cos ) sin (1 cos ) x xx x x xx xx           22 c o s sin (1 cos ) x x x                    2(1 cos ) sin (1 cos ) x x x       2 sin x                    2cosec x  = RHS   [3]

Question 3 [2008 EOY, Q16] marks Given that  tan 3x  and  sin x  is positive, without using the calculator, find the exact values of  (i) cos sinx x ,  Solution: x is in 2nd quadrant so           132cos sin 10 10 10 xx     [2] (ii) sec cosecx x . Solution: 11 1 0 4 1 0sec cosec 10 cos sin 3 3xx xx          [2] Question 4 [2009 EOY, Q3] marks Prove the identity  2 2 2 2cot cosec cosec . sin cos       Solution: 2 2cos 1 sin sinLHS 12 s i nc o s                         2 2cos sin 1 sin 12 s i nc o s                       2 2 1 sin cosec RHS (proven)        [4] x3 1 10

Question 5 [2009 EOY, Q5] marks (a) Given that  2cos 3A  and180 360A . Without solving for angle A,   find the value of  (i) cot A ,  Solution:                                            1cot tanA A                            1 5 2                                  22 5 or 55      [2] (ii) cosec (180 ) A . Solution: 1cosec (180 ) sin(180 )A A      1 5 3         33 5 or 55       [2] (b) Solve  tan(2 65 ) 1ox   for  03 6 0x .  Solution: 45BA  65 2 65 655x   2 65 135 ,315 , 495 , 45x     10 ,100 ,190 , 280x   [4]

Question 6 [2009 EOY, Q12] marks (i) Show that ( 2sin 1x ) is a factor of the expression   326sin sin 4sin 1x xx .   Solution: 32 32 (sin ) 6sin sin 4sin 1 11 1 164 1 022 2 2 By Factor Theorem, (2sin 1) is a factor. fx x x x f x                        [2] (ii) Factorise the expression  326sin sin 4sin 1x xx  completely.  Solution: 32 26sin sin 4sin 1 (2sin 1)( sin sin )x xx x A x B x C          By comparing coefficients, A = 3, B = 2, C = −1           2(2sin 1)(3sin 2sin 1) (2sin 1)(3sin 1)(sin 1)xx x x x x         OR     1 0, (1) 03ff          11(sin ) 6(sin )(sin )(sin 1)23fx x x x       [3] (iii) Hence find all values of x between  0  and  360  inclusive for which  326sin sin 4sin 1 0xx x    . Solution: (2sin 1)(3sin 1)(sin 1) 0xx x     1sin 2 30 30 , 150 x BA x         1sin 3 19.47 19.5 , 160.5 x BA x        in 1 90 270 sx BA x          x = 19.5°, 30°, 160.5°, 150°, 270°.      [4]

Question 7 [2009 EOY, Q13] marks (i) Sketch, on the same diagram, the graphs of  2sin 1yx  and   3cos2yx  for the domain  03 6 0x . Solution:   (ii) Hence, deduce the smallest possible positive value of m for which the equation  2sin 1 3cos2xx m   has 3 solutions. Solution: m = 2           [1] x  y        0  1  2  3  −1  −2  −3

Question 8 [2010 EOY, Q10] marks (i) Solve, for  0 180x   , the equation  22cos2 3cos2 sin 2x xx . Solution: 2 2cos 2 (3sin 2 2) 0 cos 2 0 or sin 2 3xx x x         For  cos 2 0x ,  45 ,135x     For  2sin 2 3x , basic angle is  54.74  hence  2 54.74 ,125.26 , 234.74 ,305.26x      27.4 ,62.6 ,117.4 ,152.6x      [4] (ii) Sketch the graph of  2t a n 1y x  for  0 360x   . Solution:                                   [3] 270 36090 1801 y x 45 1

Question 9 [2010 EOY, Q11] marks Prove the identity  1c o s e c cottan sec x xx x   . Solution: 1c o s e c 1 s i n 11tan sec sin cos cos xx x xx x x                          sin 1 cos sin sin 1 x x x x                 cos sin x x             cot x   [3] Question 10 [2010 EOY, Q16] marks Simplify  sin( 135 ) tan 200 tan 300 sec 240 cot( 290 )     , leaving your answer in exact form. Solution: sin( 135 ) tan 200 tan 300 sec 240 cot( 290 )       sin135 cos 240 tan 200 tan 300 tan 290         s i n 4 5( c o s 6 0) t a n 2 0( t a n 6 0) ( t a n 7 0)          11 3 tan 20 (tan 70 )22       1 3 22   or  12 6 22                   [3]

Question 11 [2011 EOY, Q2] marks Sketch the graph of  3sin2 2yx  for  03 6 0x , Solution: Correct Amplitude i.e. 3      Correct no of cycles (2 cycles)     Graph shifted down by 2 units   [3] Question 12 [2011 EOY, Q9] marks Solve the following equations for angles between  0 and  360 .  (i) 2cos 4sin cosx xx , Solution:  2cos 4sin 1 0xx     1cos 0 sin 2xo rx    cos 0 90 , 270x     1s i n 3 0, 1 5 0, 2 1 0, 3 3 02x       (Without  cos 0x , 2 marks deducted. Basic  cannot be  0 ,90 ,180  .)  [5]

(ii) tan 2 85 5y  . Solution:   0 0 0 00 0 0 00 0 0 tan 2 85 5 . . 78.69 28 5 78.69 ,101.31 , 281.31 , 461.31 3.2 ,93.2 ,183.2 , 273.2 y BA y y       [4] Question 13 [2011 EOY, Q12] marks (i) Given that   13 8 sin31 cos2 2 2  x x , where  90 180x . Without using a   calculator, find the value of   x x sin31 cos2  .                                                      Solution:  2 2 22 22 2 2cos 8 13 s i n 1 3 26cos 8 24sin 26 1 sin 8 24sin 18 9sin 50 25 3sin 5 4cos 5 x x xx x x x x x          422c os 4 5 313 s i n 7 13 5 x x       [4]

(ii) Prove the identity   cot cot 2sec1c o s e c 1c o s e c     . Solution: 2 2 cot cot 1 cos 1 cos cos cos sin sin sin 1 sin 1 sin sin cos cos sin 1 sin 1 cos sin cos cos sin cos sin 1 2cos cos 2sec LHS ec ec RHS                             [3] Question 14 [2012 EOY, Q6] marks The function f is defined by   f: 1 2 s i n 3 xx  . (i) State the amplitude and the period of f.     Solution: Amplitude = 2           Period =  01080                              [2]