Ex02 Relations & Functions Answer

Topic: Relations and functions Question 1 [2008 EOY, Q13] marks A function f is defined by  1:2fx x , where  22 x  ,  0x .  (i) Sketch the graph of  ()yf x , showing clearly any asymptote(s) and intersection(s) with the  axes.  Solution:             [G1] – correct shape          [G1] – correct asymptotes          [G1] – correct intercepts              [3] (ii) Find an expression for  1f , the inverse function of f, and state its domain.  Solution: Let  1 2y x  then  1 2x y   hence  1 1() 2fx x       5(2 ) 2f   ,  3(2) 2f  , so domain of  1f  is  53 22xx     [3] x  – 2  1 2 2 – 2

Question 2 [2008 EOY, Q14] marks Sketch the graphs of  lnyx  and  xy e  on the same axes.     Solution:             [G1] – correct           [G1] – correct                [2] Describe using geometrical transformations how you would obtain the graphs of  (a) 2lnyx , and  Solution: 2ln 2lnyxy x  . Stretch graph  by a factor of 2 about  x‐axis parallel to  the y‐axis and  reflect a copy of the graph about y‐axis   [2] (b) 2 xy e   from the graphs you have drawn above. You are not required to draw them. Solution: Reflect the graph about y‐axis and translate the graph upwards along the y‐axis by 2 units   [2] lnyx xy e x y  1 lnyx xye 1

Question 3 [2009 EOY, Q4] marks Sketch the graphs of   2yx  and  2 34yx x  for the domain  25 x on the same  axes and hence state the number of solutions of the equation  223 4xx x  .  Solution: [5] Question 4 [2009 EOY, Q8] marks Function f is defined by :3 1fx x  . (i) Write down the inverse function of f in similar form. Solution: 1 3 y x  1 1: 3 xfx  [2]

(ii) Describe  using  geometrical  transformation(s)  how  you  would  obtain  the  graph  of  ()yf x from the graph of  ()yf x  .   You are not required to draw them.   Solution:  is the reflection of   in the x‐axis.   [1] Question 5 [2010 EOY, Q15] marks A function f is defined by  2: 3 x kx x  f  , where  3x  and k is a real constant. (i) If  1(1 ) 1 2 f , find the value of k.  Solution: 2( 1) 1 12 33( 1 ) 2 k k            1k    [2] (ii) Find an expression for  1()xf , where  1f  is the inverse function of f, and state its domain. Solution: Let  21 3 xy x   , then  3123 1 2 yxx y y x y        Hence  1 31() 2 xx x   f  and the domain is  2x   [3] (iii) Find the x‐coordinates of the points of intersection, if they exist, when  1() ()x xff . Solution: Solve for  221 31 1032 xx xxx x      [M1]  But this equation has no real roots, so they do not intersect [A1]  [2] ()yf x ()yf x

Question 6 [2011 EOY, Q8] marks (i) Solve the inequality  23 5x  . Hence state the solution of   42 35x   . Solution: (a) 52 35x   ,  14 x       14 x          [3] (ii) By sketching appropriate graphs or otherwise determine the number of root(s)  for the equation   2 2x x  . Solution: (a) Graph of  2y x            Graph of  2xy           One intersection means one root   [3] Question 7 [2012 EOY, Q4] marks (a) Sketch the graph  3y xa  where  03 a  , showing clearly the intercepts   with the axes.   Solution:   G1 – correct V‐shaped  G1 – V‐shape shifted to be right by 3 units.  G1 – V‐shape shifted downwards by a units.  [3] 3 y x

(b) Find the range of values of k, in terms of a, for which the equation        3x ak    (i) has no solution,   (ii) has two solutions of opposite signs. Solution: () ( ) 3ik a i i k a   [2] Question 8 [2012 EOY, Q14] marks Function f  is defined by  21 3f: 3 xx x   . (a) (i) State the largest possible domain for f. Solution: ,3xx         [1] (ii) A and B are such that  21 3 33 x BAx x    for all values of x except  3x .  By long division or otherwise, find the value of A and of B. Solution: 23 721 3 7 233 3 xx xx x         2, 7AB       [2]

(a)(iii) State precisely a sequence of transformations by which the graph of   21 3 3 xy x     may be obtained from the graph of  1y x .  Solution: 1y x   1(I) 3 Translation of 3 unit in the negative -direction. 7(II) 3 Stretching/Scaling parallel to the -axis by a factor of 7 7(III) 2 3 Translation of 2 unit in the positive -direction y x x y x y y x y        [3] (b) The function f has an inverse if its domain is restricted to  x k , state the least  value of  k  and find an expression for  1f( ) x  corresponding to this domain for f.   Solution: f is one‐to‐one as any horizontal  line  where fyk kR  cuts the graph of f exactly once.   1 1 f( ) f( ) f f ( ) f( ) Let y x Peform a function operation on y yx yx                  21 3 3 y xy                  13 3 2 xy x       1 13 3f( ) , , 2 2 xxx x x            [4]

Question 9 [2014 EOY, Q11] marks A function f is defined, for 0x , by f: 1 ax x , where a is a real constant. Given that 12f( 1 ) f (2) 4  , calculate the value of a. Solution: 1 1 1 f( ) 1 Let f ( ) f( ) 1 1 f( ) , 1 1 2f( 1 ) f (2) 4 21 4 12 1 22 4 2 ax x yx yx a xy ay x axx x aa aa a                                                            [4]

Question 10 [2014 EOY, Q13] marks (i) Sketch the graphs of 10xy and 1 (2 1)( 2)2yx x  on the same axes, showing clearly the x-intercepts, y-intercepts and turning points, if any. Hence, state the range of values of x such that 110 (2 1)( 2)2 x xx  . Solution: Hence, the range of values of x such that  110 (2 1)( 2)2 x xx   is  0x .     [5] (ii) Describe the sequence of transformations to obtain a graph of 2l n( 1 )yx  from the graph of e1xy . Solution: e1e 1 l n ( 1 )xxyy x y        First transformation: reflection in the line y = x.     Second transformation: stretching / scaling parallel to the y‐axis by a factor of 2.                 [2]

Question 11 [2015 EOY, Q5] marks It is given that f is a function such that f: 2 4 , x xx k  . (a) Write down the largest possible value of k. Solution: Largest possible value of k is 4. [1] (b) If 3k  , (i) find 1f( ) x and state the domain of 1f , Solution: 12f( )4 ( 2 )x x    or  (4 )x x ,   domain of  1f  is  1x [3] (b) (ii) solve for x when 1f ( )f( )x x . Solution: 1 1 2 f ( )f( ) f( ) 4 (3 ) 0 x x x x x xx xx           hence  0x  since  3x domain of  1f                 [3]