MIPU3 H2 Mathematics Paper 1 2012 Prelim II Answer Key

PU3 H2 Mathematics Paper 1 2012 Prelim II 1(i)       2 2 2 2 1 81 1 9 4 7 4 1 ( ) p p p p p reject ve       1(ii) Length of projection of a on b. 1(iii) 344 99 7 9 294 99 3 24 6 ab                        2   2 2 2 2 2 2 2 1 121 2 2 1 1 1 40 4 0 1 xx xx xx x xx x and x x                  2 2 4 2 ln 2 ln 1 1 ln 2 ln 1 ln 4, ln 0 , 1 1 xx xx xx x e x x x e           3(i) 6 1.21 1.1 0.12 2.25 1.5 1 2, 3, 1 a b c a b c a b c a b c             3(ii)   is increasing for 0.75.f x x  X (0.75, -0.125)

3(iii) 4           11 22 2 11 2221 4 2 4 4 4 64 4 4 1 2 1 ... 2! 2 ... 14 x x x xx x x                 1 2 931 22 2 211 223 2 3 543 2562 512 181 4 2 ...4 64 22 x          5(a)               12 1 2000 1.02 50 2000 1.02 50 1.02 1.02 ... 1 1 1.02 2000 1.02 50 1 1.02 2000 1.02 2500 1 1.02 2000 1.02 500 1.02 500 5 1.02 n nn n n n n n n n n a r d T                      500 5 1.02 0 ln 5 ln1.02 81.27 It can last 81 years. n n n      30500 5 1.02 $1594.32 y = 4x - 3 0.75

5(b)     15 2 2 2 8 50 2 14 570 46, 12 500 92 1 12 500 12 104 1000 0 9.59 (rej) or 9.59 least n is 10. n n ad ad ad S n nn nn                6(i)         22 22 22 21 2 2 2 2 2 2 2 dy dy dx dx dy dy dx dx dy x y dx x y dy x y dx x y x y xy x y y x x y x y                 6(ii) 2 2 2 2 1 2 1 2 11 22 11 22 0 21 , , xy xy xy x x x x x xy xy             7                2 2 32 32 32 32 21 2 2 2 1 1 10 dy dx d y dy dxdx d y dy d y dxdx dx d y dy d y dxdx dx xy xy xy xy             

          2 2 3 3 211 22 31 22 2 3 151 2 2 4 233 15 241 2 23351 2 4 8 When 0, 1 01 0 1 1 1 0 1 1 ... 2! 3! 1 ... dy dx dy dx dy dx xy xxyx y x x x                        8       3 3 3 2 2 0 2 0 0 3 3 3 tan sec 1 tan 3 3 units V x dx x dx xx                   9(a)                      95 62 59 2 2 6 6 95 2 2 6 6 5 5 9 9 2 2 6 6 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 1 ii i ii ii ii ee e                              x = π/3 x = π/2 x = -π/2 y = tan x

9(b)     2 2 2 63 3 23 27 27 3 , 1,0,1 ki i ik ze ze z e k                 1 3 3 3 31 2 2 2 2 2 3 3 3 31 3 2 2 2 2 3 0 3 3 3 z i i z i i z i i             10(i) GC: 1.052 5.505     10(ii)       1 1 ln 1 4 If a sequence converges, as , and . ln 1 4 ln 1 4 0 Hence, or . nn nn xx n x L x L LL LL LL                  10(iii)         1 1 1 1 Maximum point: 2, 2 ln 1 4 ln 1 4 Since ln 1 4 2, 2 2 nn n n n n nn nn xx x x x x xx xx xx                   11         1 2 When 0.5, 0 0 0.5 0.5 0.5 2 1 2 1 where 0. dx dt dx dt dx dt m px x mp mp p px px k x k          

          1 21 1 21 1 2 1 2 11 22 11 22 100 51 When 0, 1.5, 0.02, 21 1 ln 2 1 ln 2 0.02 3 1 0.01 ln 2 1 0.01 ln 2 When 1.01, ln 2 1.01 1 0.01 ln 2 50ln 33.7sec dx dt dx dt dx x dt x tx kx k dx k dt x kt c c k k xt x t t                           12(i) 12(ii) (2, 4) X X (-2, 4) 2 0 x = 1 x = -1 (2, 2) (2, -2) X X -2 2 - 2 -1 0 x = 1

13(i) 2 1 1 2 8 4 2 2 2 1 8 2 5 1 4 9 02 2 5 0 10 9 1 19 2 : 5 1 9 BA CB BA CB pr                                                              13(ii)     1 2 5 4 12 : 4 1 14 0 : 1 2 13 4 1 2 1 4 1 3 3, 4 1 2 3 0 4 lr k lr k k                                                          13(iii) 11 22 1 5 45 0 49 Since not perpendicular to plane's norm al, does not lie in the plane.ll                  

13(iv)   26 45 97 45 26 154 45 45 59 45 1 2 2 4 1 5 1 1 4 9 45 26 12 41 14 r                                                           13(v)    5 2 233 16 2 10 27cos 110 0.16191 0.16191 1.41 (80.7 ) rad rad       