2012 NYJC H2 Math Prelim_ P1_solutions

1 2012 NYJC H2 Math Preliminary exam Paper 1 solutions 1 Let the equation of C be 3 2 y ax bx cx d = + + + Subst (0, –1) into equation, 1d = − Subst ( –1, 1) into equation, 1 2 (1) a b c d a b c − + − + = ⇒ − + − = − − − − − At ( –1, 1), d 0 3 2 0 (2) d y a b c x = ⇒ − + = − − − − ( ) 3 3 2 2 31 1 d 4ax bx cx x + + − = ∫ 3 4 3 2 2 31 4 3 2 4 a b c x x x x   + + − =     81 9 8 31 9 3 4 2 2 4 2 3 4 a c b b a c     + + − − + + − =         65 19 5 35 (3) 4 3 2 4 a b c + + = − − − − Solving eqn (1), (2) and (3), 1, 0, 3 a b c = = = − 3 3 1 y x x ∴ = − − 2 1 1 sin sin cos cos a b θ φ θ φ         × = ×             sin cos cos sin cos cos sin sin θ φ θ φ θ φ φ θ −    = −     −  ( )sin 2sin sin 2 2 2cos sin 2 2 φ θ θ φ φ θ θ φ φ θ     − −   + −   =     + −     sin 2 2sin sin 2 2cos sin 2 δ θ φ δ θ φ δ     −   +  =     +   

2 a b × = 2 2 2 2 sin 2 4sin (sin cos ) δ δ β β + + , where 2 θ φ β += 2 2 sin 2 4sin δ δ = + 2 2 2 2 4sin cos 4sin 2sin 1 cos δ δ δ δ δ = + = + Using sin a b a b α× = 22sin 1 cos δ δ + =( )( ) 2 2 2 2 1 sin cos 1 sin cos sin θ θ φ φ α + + + + ( )( )2 2 sin α= . 2sin sin 1 cos α δ δ = + 3 ( ) 3 2 3 2 2 2 2 2 2 (i) 4 3 2 Differentiating wr.t. : d d 12 6 3 3 d d d3 3 12 6 d x x y y x y y x xy x y x x yx y x xy x + = − + + = − = − − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 d 4 2 d 2 2 y x xy x y x x x y y x y x += − += − + ( ) ( ) 3 2 3 3 Curve meets when: 4 3 2 2 2 1 and 1 Thus, coordinates of is 1,1 y x x x x x x x y P = − + − = − − = − ⇒ = − = − ( ) d(ii) At 1,1 , is undefined. d y x− Equation of tangent at : 1 is a square. P x OQPR = −

3 4 (a) 11 2sin 0 sin 2x x − > ⇒ < π 0 6x⇒ ≤ < . π π π 2 6 2 π0 0 6 1 2sin d 1 2sin d 1 2sin d x x x x x x − = − + − ∫ ∫ ∫ = ( ) ( ) π π 6 2 π0 6 1 2sin d 1 2sin d x x x x − + − − ∫ ∫ = [ ] [ ] π π 6 2 π 0 6 2cos 2cos x x x x + − + = ( ) π2 3 1 6− − . (b) ( ) 2 cos cos d d 2cos 2 1 2 1 2sin 1 θ θ θ θ θ θ = − − − ∫ ∫