AJC 2007 P1 ANS

2007 H2 Mathematics Prelim Paper 1 solutions Solution 1. 1, ( ) 3 2 4  x−   = 4 (2-3 ) ( 1 - 2  x)-3  = ( )( ) 2 3411 3 .... 2 2 2! 2  x x⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠   = 213 3 ... 24 4  x x+ + + for ⏐x ⏐ < 2 Coefficient of xn = ⎟ ⎠  ⎞⎜⎝  ⎛  2 1 ( )( ) [ ]( )3 4 ... 2 1 ! 2 n n n ⎡ ⎤− − − +  ⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦   = ⎟ ⎠  ⎞⎜⎝  ⎛  2 1(-1)2n ( )( ) ( )( ) n nn ⎟ ⎠  ⎞⎜⎝  ⎛ ++ 2 1 21 21   = ( )( 2 1 2 12 ++⎟ ⎠  ⎞⎜⎝  ⎛  + nn n )  2.  y =(cos –1 x)2  dx dy = 2 cos-1  x  ⎟ ⎟  ⎠  ⎞ ⎜ ⎜ ⎝  ⎛  − − 21 1  x    x dx dy x 12 cos2 1  −−=⎟ ⎠  ⎞⎜⎝  ⎛ −   ( ) ( ) y x dx dy x 4cos41 21 2 2 ==⎟ ⎠  ⎞⎜⎝  ⎛ −   −  (proved) (i) Differentiating wrt x , ( ) dx dy dx dy x dx  yd  dx dy x 4221 2 2 2 2 =⎟ ⎠  ⎞⎜⎝  ⎛ −⎟⎟  ⎠  ⎞ ⎜⎜ ⎝  ⎛  ⎟ ⎠  ⎞⎜⎝  ⎛ −   ( ) 21 2 2 2 =⎟ ⎠  ⎞⎜⎝  ⎛ −⎟⎟  ⎠  ⎞ ⎜⎜ ⎝  ⎛ − dx dy x dx  yd  x   When x = 0 , y = (cos –10 )2 = 4 2π    ; dx dy = - π ; 2 2 dx  yd   = 2 ; By Maclaurin’s Theorem , y = 4 2π    - π  x + x2 + …. (ii) At x = 0, equation of tangent to the curve is y = 4 2π    -π  x 3a) a) 0 2 2 0 4 4 sin sin sin(sin) sin(sin) x xdx x xdx x xdx π π   π   π  − − = − +∫ ∫ ∫   1

2  Solution = 0 2 0 4 1cos2 1cos2 2 2  x xdx dx π   π   − − −− +∫ ∫   = 0 2 0 4 1 1 1 1sin2 sin2 2 2 2 2  x x x x π   π   − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= 1 84 π   = +  b) 2 1 dx x u du = ⇒ = − 1 u   22 2 1 1 d ( 1xx2 2 u ) x du u u = − − − ∫ ∫   2 1 1 2 du u −= −∫   = 11 1sin 2 sin () 2 2 uc c 1 2  x −− + = −   −    Alternately: 11 2cos ( ) 2 c  x − +  4. (i) (ii)  Direction vector of is1l 0 2 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Equation of is ,1l 2 0 1 2 3 5 r  ⎛ ⎞ ⎛  ⎜ ⎟ ⎜= − +λ −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝  %  ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠ λ∈    4 13 3 OB ⎛ ⎞ ⎜=⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠ uuur ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 5 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠  & 2 12 3 5 ON  ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − − λ⎜ ⎟⎜ ⎟+ λ⎝ ⎠ u u u r Then 2 14 2 65  BNONOB −⎛ ⎞ ⎜= − = − − λ⎜⎜ ⎟ + λ⎝ ⎠ uuur uuur uuur 0 2 2 0 1 42 2 5 6 5  BN  −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜• − = ⇒ − − λ • −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ u u u r   2843025 0 29 58 2 ⇒ + λ + + λ = ⇒ λ = − ⇒ λ = − 2 10 4  BN  −⎛ ⎞ ⎜= −⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠ u u u r   Equation of line BN : 4 1 13 5 3 2 r  ⎛ ⎞ ⎛  ⎜ ⎟ ⎜= +λ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝  %

3  Solution 5(i) (ii) cos 1 y x= −  1 1 cos 1 1 cos  yx  x y − − = − = ±   Since 1 1 xπ  − ≤ ≤, 11cos x y−= −   1 1: 1cos , , 1 1 f x xx− −  x− ∈ − ≤ ≤a    [ ) [ ] 0,  1 ,1 g  f   R  D  π   = ∞ ⊄ = −   ⇒  fg does not exist. For fg to exist, [ ] [ ]0,1 maximal 1, 0g g R D= ⇒ = −   6(i) (ii) 1 1 0 0 2 2 2 2  x xdx dx  x x − −= −− −∫ ∫   = 1 1 1 2 2 0 [(2)2(2)] x x dx − − − + −∫   = 13 1 2 0 2(2)4(2) 3  x x ⎡ ⎤ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ 1-1 2   =2(4 2 5) 3 −  1 2 1 1 1... 1 22 2 2 n n nS  n n n n n n = ⋅ + ⋅ + + ⋅ − − n n −   1 2 1 .... 2 1 2 2 2 1 1 1 2 ..... 21 2 2 n n n n n n n n n n n n nn n n n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + +− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥− −⎣ ⎦   1 0 lim 2  xS dxn  x =→∞   −∫  =2(425) 3 −

4  Solution Alternative solution for (i) – by parts ( ) ( ) 11 0 0 13 2 0 13 2 0 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4  22 2 3 2 ( 425) 3  xdx x x xdx  x  x x x  x x x ⎡ ⎤⎡ ⎤= − − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦− ⎡ ⎤⎡ ⎤= − − +