SAJC_H2_MATHS_P2_Solutions

2017 Prelim Paper 2 Solution 1 Method 1 i3zw  3 3i ii zwz    --- (1) Substitute (1) into 2 6 3i 0zw    2 (3i i) 6 3i 0zz      2 i 6 0zz      2 i i 4(1)(6) i 1 24 22z        i 5i 2   2iz or 3iz  3i (2i)iw 3i ( 3i)iw   23 i 3 3i  Method 2 i3zw  3izw …. (1) Substitute (1) into 2 6 3i 0zw      2 3 i 6 3i 0ww      29 6 i 6 3i 0w w w       2 (1 6i) 15 3i 0ww       2 (1 6i) 15 3i 0ww       2 (1 6i) 15 3i 0ww      2(1 6i) (1 6i) 4(1)( 15 3i) 2w       

1 6i 1 12i 36 60 12i 2        1 6i 25 2     2 3iw or 3 3iw   3 (2 3i)i 2iz    3 ( 3 3i)i 3iz     Method 3 i 3 i 3i wz wz      2 ( i 3i) 6 3i 0zz       2 i 6 0zz   Let iz a b where ,ab  2( i) i( i) 6 0a b a b      22 2 i i 6 0a b ab a b       22 6 (2 )i 0a b b ab a      By comparing the real and imaginary parts, 22 60a b b    … (1) 20ab a … (2) From (2), 0a or 1 2b When 0a , 2 60bb   ( 2)( 3) 0bb   2b or 3b Hence 2i, i(2i) 3i 2 3izw     or 3i, i( 3i) 3i 3 3izw      When 1 2b , 2 2511 4 2 4 6a    

There is no real solution for a. 2(i)                    2 2 2 3 3 2 3 1 11 2 1 3 1 1 1 11 2 2 3 3 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n nn                  (ii) 3 2 3 2 2 26 32 2 3 12 11 2 3 1 1 2 3 231 2 3 4 2 3 1 2 3 4 5 ... 231 21 2 3 1 +11 n r n r n r r rr r rr r r r n n n n n n                                 2 3 2 1 3 12 1 2 2 1 3 2 12 21 423 1 n n n nn nn                (iii)    2 2 10 1 2 3 n r r r r r     Let 22r p r p    

    2 22 2 3 4 23 33 22 26 11 26 2 6 2 6 4 2 4 233 2 3 3 4 5 4 2 6 2 3 pn p n p n pp p p p p p pp pp p p p p nn nn                                   3(i) 2 2 2 1f : 1 1Let 1 1 1 11 x x y x x y x y       Since 1x , 11x y   1 1f1 x x   = 1 x x  . From graph of f,  fR 0,   1fD x   0, . x =1 y =0

(ii) (iii) Since 11ff ( ) f f ( )x x x  have the same rule, we investigate the domain  1ff 1,D    1ff 0,D   Taking the intersection of these domains, Range of values is 1x . 4 (i) Equation of plane is 1 1 2 3 2 0 , , 2 0 1                               r A normal vector to plane is 1 2 2 2 0 1 0 1 4     