PLMGS(S) 4049 AM Prelim P2 solutions 2021

Preliminary Examination 2021 Paper 2 4049/02 Secondary 4Express Additional Mathematics Qn No Working 1(i)     2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d 3 3 3 2d 36 x x x xx xe e x ex e xe       1(ii)   2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 3 6 d 3 6 d 3 3 d 23 9 d 332 23 9 d 332 329 d 3 23 333 22 x x x x x x x x x x x x x x x xx e xe x xe c xe x xe e x c xe x xe e c xe x xe e c xe x xe e c xe e c                                                      2 1 2 199 24 xxxe e c      2(i)      2 2 2 2 2 22 2 2 22 22 22 2 1 tanLHS sec 2 tan sin1 cos 1 2sin cos cos cos sin cos 1 2sin cos cos cos sin 1 2sin cos cos sin sin cos 2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin RHS                                         

OR         2 2 2 2 1 tanLHS sec 2 tan 1 tan 1 tan 1 tan 2 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan cos sin cos cos cos sin cos sin cos sin                             2(ii)   22 22 2 2 1 tan 2sec 4 tan 1 tan 2 sec 2 tan 1 tan 2sec 2 tan cos sin 2cos sin cos sin 2cos 2sin 3sin cos 1tan 3 18.43 18.4 ,161.6                                      3(i)             3 2 2 3 32 23 3 3 3 3 Let f 2 3 3 2 When is the divisor, by Remainder Theor em, Remainder f 2 3 3 2 2 3 3 2 0 Since the remainder is 0, by Factor theorem, is a factor of f . x x ax a x a xa a a a a a a a a a a a x a x                   

(ii)                    3 2 2 3 2 2 22 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 Comparing coefficient of 2 2 3 3 2 2 2 23 5 Hence 2 3 3 2 2 5 22 3 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 When , , x ax a x a x a x bx a aa ba x ax a x a x a x ax a x a x a x a A B C x ax a x a x a x a x a A x a x a B x a b xa a C x a x a x x a A                                                    2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 1 3 When , 2 33 322 4 3 When 2 , 3 3 3 1 3 3 1 4 1 2 3 3 2 3 3 2 3 2 aa A a ax aaB B a xa C a a C a x ax a x a a x a a x a a x a                       4(a)          33 2 33 2 3 2 2 2 22 2 2log 2 log 3 log log 3 2 log 2 3 33 9 27 0 1, 9, 27 4 = 9 4 1 27 81 108 27 0 Since 4 0, there are no real solutions. xx xx x x x x xx a b c b ac b ac                       

OR            33 3 3 3 2 33 2 2 22 2 2log 2 log 3 2log 2log 3 log 3 log log 9 3 9 27 9 27 0 1, 9, 27 4 = 9 4 1 27 81 108 27 0 Since 4 0, there are no real solutions. xx xx xx xx xx a b c b ac b ac                       4(b)           2 2 ln ln 2 2 22 2 2 0 20 or 2 ln 0 or ln 2 0 or xx yy yy yy yy xx x e x e                           OR                  2 2 2 2 ln ln 2 2 22 2 2 0 2 2 4 1 2 21 22 2 2 2 2 2 or 22 or 2 ln or ln 2 or xx yy yy y y xx x e x e                                           

5(a)     4 1 4 4 1 3 1 1 3 2 12 16 22 1 (1) 51 25 5 5 55 12 (2) 3 4(2) (1), 3 3 4 9 44when , 1 99 5 9 54,99 xy xy x y x y xy xy y y yx x xy                          5(b) Let the other base be b,                22 1 2 4 3 2 3 2 15 32 1 2 3 2 3 2 15 3 2 15 3 1 2 323 1 2 3 1 2 3 2 15 3 1 2 3 1 2 3 2 4 3 15 3 30 3 1 12 88 11 3 11 83 8 2 3 3 6 2 3 b b b b                              

OR                        1 2 4 3 2 3 3 2 15 32 1 2 3 2 1 3 2 15 3 2 1 3 4 2 3 6 1 2 15 3 2 6 6 4 2 1 3 2 15 3 8 6 5 2 3 2 15 3 By comparison, 8 6 2 66 2 12 12 (1) 5 2 15 2 10 (2) (1) (2), 11 22 ab ab a b a b a b a b a b a b ab ab ab ab ab b b                                                           2 when 2, 6 6 2 6 Length of the other parallel base is 6 2 3 cm. ba      6(i)           22 22 22 2 8 84 0 0 4 16 84 0 0 4 10 Centre is 0, 4 and radius is 10 units. x y y xy xy                OR Centre is  80, 0, 42    Radius     220 4 84 10 units      6(ii) Equation of line AB:

    2 2 2 2 2 2 43 4 3 4 16 3 44 33 4 8 4 84 044 9 6 16 6 32 84 016 25 10016 1600 25 64 8 Since 0, 8 3 844 10 coordinates of is 8, 10 y x xy yx x x x xx x x x x x xx y A                                      (iii) Radius of C3 10 5 units2 Centre of circle C2   0 8 4 10,22 4, 7          Centre of circle C3  4, 7     22 2 22 4 7 5 or 8 14 40 0 xy x x y y         

7               2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 32 2 2 2 2 f " 2 2 2cos 2 f ' 2 2 2cos 2 d 2 sin 2 Given f ' 1 42 1116 2 2 16 f 2 sin 2 16 f 2 sin 2 d 16 cos 2 3 2 16 3Given f 0 2 1300 22 2 f x x x x x x x x x x c c c x x x x x x x x x xx x x c c c x                                                     32 2 3 23 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2 cos 2 23 2 16 cos 222f2 2 96 3 2 2 16 2 96 1 224 4 2 32 96 5 96 4 2 96 10 4 xx xx                                                                 8a   31gradient 42 1 sub point 2,1 , 12 1 1 1 x xcy c c x xy xy x          OR

1 31 422 12 1 1 x y x x xy x xy xy x          8b(i) Refer to attached graph 8b(ii)   1 12 1 1 2 6 2 1 10 2 2 1ln 1 2 1, 2 t t m mt me ee A e k            8b(iii) 0 1 0 When 0, ln 1 When new mass 10 , ln11 ln 29.9011 3.397895 From graph, when ln 3.397895, 4.8 the time taken is about 4.8 0.1 hours t m me m e e e mt          

9             1 2 when 0, 10 6 0 5 3 5 ,03 when 1, 10 6 1 4 1, 4 d1 10 6 6d2 3 10 6 d3at , d 10 6 1 3 4 Equation of normal at : 44 13 4 16 33 at , 0, 4 16 033 4 4,0 Area of shaded y x x A x y B y xx x yB x B y x yx Cy x x C                                               5 3 1 5 33 2 1 3 2 2 region 110 6 d 1 4 4 2 10 6 63 62 1 0 16 69 64 69 118 units9 xx x                    